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線形常微分方程式


普通に身の回りで起こる現象において、それを表す関数の変化の度合がその関数の値自体に影響されることは多い。俺達は生活の中でこのことを実感する現象によく出会う。その中で解析的な解を得ることができるもの、電子部品の世界で使われる基本的なもの、これらには線形微分方程式で表されるものが少なくない。いまのうちに線形微分方程式のアウトラインを一度確認しておこう。



<1階線形常微分方程式> (*1)

まず重要なことはひとつ、現象を表す関数の変化(1階の微分)がその関数自体に比例していればそれは指数関数かもしれない、そのような見通しだ。一方、疑いや反省も忘れてはならない。いくつかキーワードを手がかりに少し思い出してみよう。
微分方程式が y の微分(0階すなわち y 自身を含む)と t の関数との線形結合であるということは、1階の場合、それは、
y' + P(t)y = Q(t)
と書けるということである。Q(t) が 0 (方程式が同次)であれば簡単に変数を分離でき、解は、
y = Aexp(-integP(t)dt)
となる。
例えば、物体の温度が下がる速度は物体と周囲との温度差に比例するという現象、穴から漏れている水の残りの高さが減る速度は残りの水の高さに比例するという現象など、多くのものは幸運にもこの形をしているのである。
一方、Q(t) が 0 ではない場合でもあきらめることはない。同次の解 Aexp(-integP(t)dt) の係数 A を t の関数に置き換えてみるという方法がある。これはこの微分方程式の「線形性」による置き換えであり、和の微分が微分の和になるという道筋にあるのだ。
A = u(t)
y = uφ(t)
すると左辺は次のようになる。
y' + P(t)y = u'exp() + uv'exp() + P(t)uexp() = u'exp()
(括弧内全て -integP(t)dt 省略)
置き換えた u' が y' と y とを一緒に飲み込んでくれるわけだ。
これを右辺と比較して整理すると、
u' = Q(t)/exp(-integP(t)dt)
となり、u(t) を求めることができる。
u(t) = integ{Q(t)exp(integP(t)dt)}dt + B
ここまでの流れはあまり印象に残るものではないかもしれない。実際俺達にとって役に立つのはその結果、解の主役は同次の場合と同じくやはり exp(-integP(t)dt) であって( = φ(t) とおく)、
y = φ(t) [integ(Q(t)/φ(t))dt + D]
になるという事実だろう。



<高階線形常微分方程式>

同次の2階線形常微分方程式、(*2)
y'' + P(t)y' + Q(t)y = 0
は、電気回路であれば交流電圧源の無いLCR直列回路に相当する。L(インダクタ)の電圧は電流の1階微分、C(キャパシタ)の電圧は電流の1階積分、したがってそれらの関係が2階の式で表される。バネであれば力と加速度が距離に比例するので(フックの法則)同じく2階の式になる。
同次の一般解は特性方程式と呼ばれる係数の式から導くことができる。
特性方程式とは、演算子(d/dt = ψ)という考え方をもって、
{ψ2 + P(t)ψ + Q(t)}y = 0
としたときに、ψに関するこの2次方程式の複素根(であれば) a+bj と a-bj をもって、解が次のように決まるというものである。
y = Aexp(a+bj)t + Bexp(a-bj)t
これは一方的に減衰する固有振動だ。

少し脱線するが、ある量の傾き y' 、その傾き y'' 、前者が指数関数的な減少に関係することは良いとして、後者が固有振動の元であるということはどういうことなのだろうか。バネの運動として現象の関係をイメージすることは多少できるのだが、指数関数と円関数との関係を捉えておくこともけだし重要だ。17世紀から18世紀にかけてニュートンからオイラーに代表される数学者たちがこの不思議な関係を明らかにした。






*1)
1階の微分方程式の中には、線形ではなくても線形と似た解き方ができる形がいくつか見つけられている。ベルヌイの式、リッカチの式と呼ばれるものなどがそうである。もしかしたら目の前の課題にそのうちのひとつが偶然はまるということも、人生に一度くらいはあるかもしれない。

*2)
非同次であっても、
y'' + P(t)y' + Q(t)y = R(t)
例えばLCR直列回路を想定して R(t)= Eexp(c+dj)t などとすれば(交流電圧源が追加されたことになる)特解は決まり、減衰する固有振動と強制的な振動との重なった一般解が導かれる。


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偏微分方程式と波動方程式


空間に広がりをもった物理量は、場所による変動と共に時間による変動を受けることがある。この場合物理量は座標と時間の両方を変数とする関数ということになり、したがってその微分方程式は偏微分方程式として表される。波動方程式はその偏微分方程式の代表である。


1.
波動方程式で表わされる現象に、弦の振動がある。
① x と y との関係
ある点で片側から受ける張力 T の振動方向 y 成分はその部分の弦の角度によって決まる。
FA = Tdy/dx (角度が浅い場合の sinθ = tanθ として)
また、反対側からも同じく、
FB = Tdy/dx
の力を y 方向反対向きに受けている。しかし例えばロープの振動を想像してみると、この点の y 方向には正負どちらか(張力か圧縮力かによる)の力 F が加わっていることは間違いない。それが角度の変化(曲がり方)に起因するものであることも想像できる。このことを、僅かに(⊿xだけ)離れた2つの場所に作用する FA と FB との差としてとらえると、F は、
F = FA-FB = Tdy/dx + T(d2y/dx2)⊿x - Tdy/dx = T(d2y/dx2)⊿x
となる。
② t と y との関係
次に、質点の運動方程式 F = mα はこの点で次のように書くことができる。
F = m⊿x(d2y/dt2)
③ x と y 、t と y との関係
これらから、この点の y 方向には、
T(d2y/dx2) = m(d2y/dt2)
なる関係がある。
x と t はお互いに独立な変数であるから、最後に記号も修正しておく。
T(δ2y/δx2) = m(δ2y/δt2)
波動方程式の基本形
(δ2u/δx2) = v2(δ2u/δt2)
と同じ形の式である。


2.
LCR分布定数回路上の電流(電圧)も波動方程式で表される。ここで、「LCR分布定数回路だから波動方程式だ」と切り捨ててしまうともうその後が救われない。現実に存在する特性の上の電流(電圧)を式に書いてみると、位置の微分と時間の微分が対称に入って結果的に波動方程式になるのである。これは、電磁波が媒質中を伝播することと、LCRからの影響を受けながら電磁気的な変化が伝わること、これら一見出どころの異なる2つの現象を同時に説明している。(値は人工的な定数 ε、μ で調整される。)
具体的には、LCR分布定数回路の上で隣り合ったノード2つとループにキルヒホッフの法則を適用することによって、電圧eと電流iはそれぞれ次のようになる。δx はそのふたつのノードの距離、Gはコンダクタンス、Rは直列抵抗。
-δe/δx = Ri + Lδi/δt
-δi/δx = Ge + Cδe/δt
上の式をxで、下の式をtでそれぞれ偏微分すると、
-δ2e/δx2 = Rδi/δx + Lδ2i/δtδx
-δ2i/δxδt = Gδe/δt + Cδ2e/δt2
2階微分の項以外に増える項はひとつだけで、式がふたつ増える。
(tとxが独立ならばδxδtの順序は入れ替え可能だからだ。)
よってこれら4つの式を組み合わせると電流iの項を消すことができて、
δ2e/δx2 = LCδ2e/δt2 + (LG+CR)δe/δt + RGe
波動方程式の基本形
(δ2u/δx2) = v2(δ2u/δt2)
と同じ形の式になる。
以下、電流iについても同様である。
δ2i/δx2 = LCδ2i/δt2 + (LG+CR)δi/δt + RGi


3.
波動方程式といえば、やはり電磁波のほうも(1次元で)上と比較しておかなければならないだろう。
3次元のベクトル積については別にまとめてある(→電磁波:発生と伝搬)。
物理的な関係式はファラデー/アンペール/マクスウエルなどにより(→電磁波:発生と伝搬)、
δE/δx = -μδH/δt
δH/δx = εδE/δt
この E対H は、LCR分布定数回路の場合の e対i と同じ関係にあり、
(真空中として減衰項を入れていないので簡単になっているが)
やはり上の式をxで、下の式をtでそれぞれ偏微分すると、
波動方程式と同じ形になる。
δ2E/δx2 = -μεδ2E/δt2
Hについても同様。
δ2H/δx2 = -μεδ2H/δt2


3(2).
3.の最初の物理的な関係で、HもEも
δE/δt = jωμH
δH/δt = jωεE
このようにフーリエ変換すれば、周波数ドメインの波動方程式
δ2E/δx2 = ω2μεE
と、x についての解
E = Aexp(jkx) + Bexp(-jkx) ...k2=ω2με
までが一挙に導かれることになる。
ただ、ここから、
E(x,t) = Aexp(jkx+jωt) + Bexp(-jkx+jωt)
と、時間の関数をかけ算して書き直しても良いらしいことについて、俺はあまりわかっていない。


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