【一般化】

--①--
F(s) = 1/(s^2+Ps+Q)
この分母を s^2+W^2 の形にして W/(s^2+W^2) からのラプラス逆変換を使いたい。
そのために s の項を s^2 の項に引き込む。すなわち変数をシフトする（あとで推移則を使って戻す）。
F(s) = 1/{(s+P/2)^2+Q-P^2/4)
F(s) = 1/{(s+P/2)^2+W^2)   ... W^2 = Q-P^2/4
このラプラス逆変換は、
F(s) = W/(s^2+W^2)
のラプラス逆変換に
exp(-(P/2)t)
をかけたものである。（推移則）

f(t) = (1/W)exp(-(P/2)t)sin(Wt)



--②--
F(s) = s/(s^2+Ps+Q)
この分母を s^2+W^2 の形にして s/(s^2+W^2) からのラプラス逆変換を使いたい。
① と同様に変数をシフトする（略）が、
分子にも余り -P/2 が出てくるので項は2つに分かれる。それぞれの項に対して
F(s) = s/(s^2+W^2)
F(s) = 1/(s^2+W^2)
のラプラス逆変換を使い、推移則でシフトを戻す。

f(t) = exp(-(P/2)t)cos(Wt) - (P/2)(1/W)exp(-(P/2)t)sin(Wt)



--③--
F(s) =1/{s(s^2+Ps+Q)}
全体としては、
・1/s を部分分数で分離し（ラプラス逆変換可能）、
・s/(s^2+W^2) と 1/(s^2+Ps+Q) が残るので、それぞれ ① と ② のとおりラプラス逆変換を行う。
まず部分分数で 1/s を分離する。
1/{s(s^2+Ps+Q)} = α/s+(βs+γ)/(s^2+Ps+Q)
の分子同士で s のべき乗ごとの係数を比較すれば、
α=1/Q, β=-α, γ=-αP である。
F(s) = α/s + (βs+γ)/(s^2+Ps+Q)
F(s) = α/s + βs/(s^2+Ps+Q) + γ/(s^2+Ps+Q)
第1項はラプラス逆変換で α になる。
第2項は上記 ②、第3項は上記 ① を用いてそれぞれラプラス逆変換が可能である。

f(t) = α   +     βexp(-(P/2)t)cos(Wt) +       (γ-βP/2)(1/W)exp(-(P/2)t)sin(Wt)
f(t) = 1/Q - (1/Q)exp(-(P/2)t)cos(Wt) + (P/(2Q)-(P/Q))(1/W)exp(-(P/2)t)sin(Wt)
f(t) = (1/Q)[ 1 - exp(-(P/2)t)cos(Wt) -          (P/2)(1/W)exp(-(P/2)t)sin(Wt) ]
（結果の第3項はラプラス変換式の第2項の一部と第3項を含んでいることに注意。）


　ーーーーーーーーー参考ーーーーーーーーーー
｜推移させないまま部分分数への分解が簡単な場合もある。
｜sinθ = (exp(jθ)-exp(-jθ))/(2j) なので結果を確認しておくと良い。
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【応用例】
      
       ーー Rk ーー L ーー
                  　      |
 V(t)                   C   Rl     u(t), i(t)
                          |


u(0)=u0, u'(0)=ud0
i(0)=i0, i'(0)=id0

u(t) = V(t) - Ldi(t)/dt - Rki(t)
i(t) = Cdu(t)/dt + u(t)/Rl



＜電圧 u(t) ＞
u(t) = V(t) - LCd^2u(t)/dt^2 - (L/Rl+RkC)du(t)/dt - u(t)Rk/Rl 

V(t)=h(t)E としてラプラス変換する。
U(s) = E/s - LC(s^2U(s)-su0-ud0) - (L/Rl+RkC)(sU(s)-u0) - U(s)Rk/Rl

U(s)をまとめラプラス逆変換に向け整理する。
 ... P=1/RlC+Rk/L, Q=Rk/(RlLC)+1/LC
U(s) = (E/LC)1/{s(s^2+Ps+Q)} + u0s/(s^2+Ps+Q) + (u0P+ud0)/(s^2+Ps+Q)

第1項は一般化の③、第2項は一般化の②、第3項は一般化の① によってラプラス逆変換する。
 ... W^2=Q-P^2/4
(E/LC)(1/Q) - (E/LC)(1/Q)exp(-(P/2)t)cos(Wt) - (E/LC)(1/Q)(P/2)(1/W)exp(-(P/2)t)sin(Wt)
u0exp(-(P/2)t)cos(Wt) - u0(P/2)(1/W)exp(-(P/2)t)sin(Wt)
(u0P+ud0)(1/W)exp(-(P/2)t)sin(Wt)

すべて加えて整理する。
u(t) = (E/LC)(1/Q) + {u0-(E/LC)(1/Q)}exp(-(P/2)t)cos(Wt) + {(P/2)u0+ud0-(E/LC)(1/Q)(P/2)}(1/W)exp(-(P/2)t)sin(Wt)



＜電流 i(t)＞
i(t) = (1/Rl)V(t) + CdV(t)/dt - LCd^2i(t)/dt^2 - (RkC+L/Rl)di(t)/dt - (Rk/Rl)i(t)

V(t)=h(t)E としてラプラス変換する。
I(s) = (1/Rl)(1/s) + CE - LC(s^2I(s)-si0-id0) - (RkC+L/Rl)(s(I(s)-i0) - (Rk/Rl)I(s)

I(s)をまとめラプラス逆変換に向け整理する。
 ... P=1/RlC+Rk/L, Q=Rk/(RlLC)+1/LC
I(s) = (1/Rl)(1/LC)/{s(s^2+Ps+Q)} + i0s/(s^2+Ps+Q) + (E/L+i0P+id0)/(s^2+Ps+Q)

第1項は一般化の③、第2項は一般化の②、第3項は一般化の① によってラプラス逆変換する。
 ... W^2=Q-P^2/4
(1/Rl)(1/LC)(1/Q) - (1/Rl)(1/LC)(1/Q)exp(-(P/2)t)cos(Wt) - (1/Rl)(1/LC)(1/Q)(P/2)(1/W)exp(-(P/2)t)sin(Wt)
-i0(P/2)(1/W)exp(-(P/2)t)sin(Wt)
(E/L+i0P+id0)(1/W)exp(-(P/2)t)sin(Wt)

すべて加えて整理する。
i(t) = (1/Rl)(1/LC)(1/Q) - (1/Rl)(1/LC)(1/Q)exp(-(P/2)t)cos(Wt) + {E/L+i0(P/2)+id0-(1/Rl)(1/LC)(1/Q)(P/2)}(1/W)exp(-(P/2)t)sin(Wt)